转载:乌有城的故事

这其实就是一个数学建模的最优化问题。

[其他] 乌有城的故事

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本帖最后由 尖尖的鹿角 于 2010-6-18 22:48 编辑

本文很长,但还是希望大家能认真看完。图和图表都是拿画图和Excel做的,比较粗糙之处,敬请见谅。

话说彼时彼地有个国家,叫乌有国。乌有国的皇都乌有城近日交通愈发繁忙,也产生了拥堵的势头,早晚高峰时段城内通衢车行甚缓,实在是个让人头疼的事情。乌有国皇帝听说有一种叫地铁的交通工具,速度快、容量大,十分便捷,是治疗路面拥堵一大灵丹妙药,可是大喜过望,立刻下诏在乌有城修建地铁。

乌有城面积不大,但五脏俱全。下面这张小图就是个写意,里面用方便识别的西文字母标示。

黄色的圈圈是居民区,多围绕在城边。有城北的A区,西部的D苑,西南的H湖,南部的L里,东部的E村和G庄。蓝色的圈圈是重要的功能区,有西北部的金融中心B,市中心的商务区F,还有买卖街K,这K街虽然短小,但云集了不少特色的店铺和食肆,白天热闹非凡,夜晚更是霓虹泛彩,熙熙攘攘,也算是乌有城的招牌地段了。绿色的两个圈圈是坐拥东北和西南的两大火车站C和J。皇宫地处东南,在城市边缘。

乌有国皇帝诏令一发,四方精于设计的能人都聚于皇都,呈献出他们的规划。这日,皇上召集文武百官,在大殿内亲自裁决遴选出来的三个规划图。

三位规划人并列站在殿中央。首先走上前来的是年纪最大的棋盘公,他带上了一张十分规整的规划图,横纵交错;而城市里的几个功能区,也被画在上面,好像串起来的宝珠。其中黑色的点,则是重要区域之外的站,有普通站,也有换乘站。所以基本上每个站都是换乘站,形成一张密集的大网。皇上仔细端详了一番,认为甚是美观可人,不禁面露微笑。

棋盘公欠了欠身,说道:”这棋盘看起来简简单单,其实有着精微的好处。诸位请看。这红、青、黄三条纵线,紫、绿、褐三条横线,经过城内所有功能区,已有经纬交错,通达天地的气势;而一条浅蓝色环线将城中心纳入怀中,更是贯通各个角落,象征着容纳和圆满。这棋盘,内部秩序井然,互相交叉,十字换乘,方便快捷,外形规整美观,有条不紊,清爽而不杂乱,富有底蕴内涵,可谓内外兼修,文质兼备。乌有城千年古都,历史悠久,雅艺熏陶,也尽可从完美棋盘式布局中体现。不亦妙哉!不亦妙哉!”

棋盘公这一番话说得大家都微微颔首称是,惟有另外两位等候着的,露出很为不屑的表情,仿佛不以为然。其中第二位自称为波中客的,一步迈上前来,掏出一张充满各色曲线的图。大家都睁大了眼睛看去,只见这图乍一看倒也还是横纵的样子,但仔细看看,每条线路都盘虬卧龙,转了好几个直角。

“这是敝人的杰作:四方形互通式布局。棋盘式布局固然漂亮,换乘套路也规矩,但终归是死性。修地铁并不是画几何图形,重要的是能串联各个地区。我这图看起来倒也是方正稳重,但实际上内部的筋脉转来转去,灵活多变,就像波浪一样弯曲,像地毯一样铺在城中。东边的居民区不便进入网络,但也有自己的线路与穿城的环线相连。而且我的方案成本最低,覆盖面积却大。”

之后他又开始介绍每条线路:”红线连接西北金融中心、火车站和东南城。粉色线路连接金融区、东北火车站和东部城区,并有通往东部居民区的小线路。绿线服务西南城,连接商业街、火车站和西部的居民区,并且经过市中心。橙色线路主要服务东北城,兼走市中心。浅蓝色环线经过商务区和两个居民区。这样,在各个城区就都有线路为之服务了。”

“如果线路不够密,”他接着说,”我还可以增加补缺线,如图中的红线和绿线。”

大家他说得也觉得挺有道理,但第三位则大摇其头。只见他端上一幅令人耳目一新的规划图。这图中非但没有刚才的规矩,反而歪七扭八,看起来仿佛一团乱麻,没有丝毫规律可言。看了这图,让我们姑且叫他线团君。

“波先生刚才说,地铁不是画几何图形,而是要串联各个地区。但实际上阁下的规划,虽不是画棋盘,却是画花里胡哨的平行的弯线,而且也并没有串联多少地区。说各个地区都有线路服务,但也只是流于表面。”

“什么叫流于表面?”

“就是说看起来都覆盖到了,但实际上并不方便。举个例子吧,从北部居民区A到西南部的火车站,却要换乘两次,到东北部如此近的火车站,却也要换乘一次。更悲剧的是东部的G,只有一条线路灌到粉线上,粉线不堪重负不说,”第三位停顿了一下,”更人为地增加了到其它线路的换乘数量。”

“例如从G到D,”棋盘公插嘴道,”要换乘3次之多。我的棋盘设计,到哪里基本上都只需要换乘一次。”

线团君眯了眯眼,”从G到H却是要换乘2次。”

波浪先生喊道:”我可以把浅绿线西延到蓝线上。”

“那也不过如此,因为和红、橙、绿三条线路照样不相交——何况红、绿都是经过市中心、商业街和火车站的大线。”

“那就再西延,到红线上去。”

“这样的话又和蓝线西部没有丝毫互动,看起来是到了西边,但从D到市中心的某些地段,还是要么绕路、要么换乘两次。”

“那——”

“我知道您想继续西延,甚至到H。但如此的话,这线路也成了棋盘的纬线一般,虽是脱了断头线的缺陷,却落入了棋盘公的窠臼。”

“那你的方案呢?”乌有国皇帝问。

“我的方案,换乘数量要少得多了。请看:红色线路经过金融区、商务区,由东部居民区到王宫附近。绿色线路贯穿南北,更转弯穿过商业街。黄色线路从西北进城,到南部。草绿线路串联两个火车站和北部居民区。以上四条线路均经过市中心。”

“那就是说,要修建一个四线换乘站了?”棋盘公对此提出质询,”这可不是说着玩的。四线换乘需要相当大的面积,还会引起客流的冲撞。还是我的两线换乘最为稳妥。”

“谈不上稳妥;”线团君回答道,”众所周知,最方便的换乘方式是同台,不管是双同台、叠落同台还是单同台;而十字换乘再如何,也终归要差一点。况且,城内也没有条件在每个路口都修建十字换乘,也就是说,还是有不少站换乘路途挺长的。棋盘式布局,如果换乘都方便,优势能发挥明显,否则的话,平均费时反而增加许多。”

“那这样可不可以?代替你的四线换乘。”棋盘公拿笔在图上勾画了几下。

“如果这几个站都在步行范围之内,则可以说比较方便;如果相距较远,则还需要多换乘一次。有一个致命的问题,即橙线与红线不相交,需要换乘两次。而且,与公交的接驳也不方便。在我的方案中,商务区站是一个大型枢纽,公交只要在此设一站,便可与四条地铁线路无缝连接。而如果地铁换乘站都分散开来,与公交站之间就必定会产生距离。如果为了避免距离过长,而使用单循环的方法——”

“什么叫单循环的方法?”

“就是说公交线路在商务区内绕一圈,与每个站都碰一下。比如说,一条公交线到了W站就分叉,经过Y、Z、X、V回到W。这样的话,从Y到V相当于单行线;只可以逆时针走,而顺时针出行,如从X到Z,就只能要么走路,要么绕路,或者到W站换车。在商务区内,各个方向的客流都不少,这样的效率就太低了。最后一点,建五个双线换乘站的成本,可比建一个四线换乘,可能还要高出不少。”

“四线换乘站,怎么设计呢?”

“就拿商务区这站举例。橙线和草绿线并行,可以设置叠落同台,红线与深绿线,则可以是十字(红上绿下),然后连通两个站厅,并修建绿线与橙线、草绿线之间的换乘通道即可。但实际上,”他又补充说,”四线换乘不一定拘于这一种方式。可以四线平行,可以共用大换乘厅,可以两对叠落同台,可以两对十字两对平行。后二者的占地面积,其实并不算大,换乘距离也不远。”

乌有国皇帝点了点头:”寡人觉得他说得挺有道理。还是言归正传,继续说说你的其它线路吧。”

“是。褐色线路呈U字形,串联三个居民区、火车站和商业街。分色线路同样经过两个火车站,但也穿过金融区。浅蓝色线路则是西北、东南走向,一方面填补空白,另一方面也连通了金融区和商业街。”

他顿了顿,接着说:”两个火车站中间有三条联络线:粉色北线、草绿色中线、褐色南线。任何一个居民区都有至少一条线路与这些联络线相交,于是从居民区到火车站,也就最多一次换乘即可完成。三个蓝色圈圈组成一个红、绿、蓝的三角形,三个重要区域和两个火车站之间任意的组合,更是都可以通过零换乘达到。”

“但是会绕远,”波浪先生指出,”从东北火车站到商业街,还不如到市中心换乘一次。”

“那也仅仅是一次而已,况且换乘也很方便,”线团君答道,”在这方面,您们二位,谁的方案都比不上。”

“让我们用数据说话,”乌有国皇帝命令身旁的司簿大臣去取计算器和图表,”我们看看到底有何差距。”

“你的方案,总里程不如我,”棋盘公端详了端详线团方案,说。

线团君显得有些不耐烦:”建地铁又不是为了攒里程!方便快捷、换乘少、效率高、覆盖面积大,才是最重要的。里程那么多,但并不方便,绕远、费时,成本反而高,有什么值得炫耀的?应当引以为耻才对。”

乌有国皇帝说道:”我们还是等等数据来了再作评价比较好。”

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过了一会儿,司簿大臣拿了一大堆数据和图表过来了。

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2010-6-18 21:39

“陛下,请允许我解释一下这些数据的意义。

“这些阶梯状图表,表示的是三个方案中,从A至L等节点之间互相的换乘数和里程。比如H8格中的2,就是指棋盘式布局中,从G到H要换乘两次。里程的算法是:每个棋盘小方格边长为2个单位,如果是斜线,就大致四舍五入,不过稍算长一点,因为不可能走完美的对角线。假定速度相等,里程其实也表示了所费的时间。

“每个阶梯状图表右侧还有一列,即L列和Y列,这是各站的平均值。例如L22格中的0.40,即指线团式布局中,G站到其它各站平均需要换乘0.4次。具体的算法是把G16格至G21格,H22至K22格相加,然后求平均。”

“那每个阶梯表右下角的值是什么呢?比如L13格的0.78?”

“这是整个系统中的平均值,即L2至L12的平均值。

“M列和Z列是各站的均值和总平均值的比,表示在该系统中,某站的相对便利程度如何。例如在M29至M39(波浪式布局各站间换乘数量表右侧),最大值是M35格的1.68,最小值是M30格的0.61,表示在波浪式布局中,最方便的站是B,最不方便的是G。有两点需要注意:(一)M列和Z列的数值越小越好,(二)只可以和同方案中的站进行数字上的比较。

“AA列是M列和Z列的均值,是综合了换乘和里程(或所费时间)两方面,得出的每个站在该系统中相对的便利程度。”

“这个值有什么意义呢?”

“我们举个例子来说吧。城里的商务区F站在棋盘布局中相对便利程度为0.82(AA7),表示便利程度略高于平均;在线团布局中相对便利程度为0.45(AA21),基本上便利程度是其它站均值的二倍,可以说非常方便;在波浪布局中这一数字则是0.89(AA34),表示便利程度略高于平均,但还不如棋盘布局中明显。考虑到作为市中心的重点站应当是系统中最便利的站之一,从这项指标来看,线团布局做得比较好。”

“最右边的AB列又是什么呢?”

“AB列是将L列与Y列的数值相乘,我将之称为各站的绝对便利指数。这个数目同样是越小越好,而且可以跨系统地做对比。比如J站在棋盘布局中便利指数为6,在线团布局中约为1.3,在波浪布局中为7.5,也就是说,按照线团君的方案会最好。”

线团君两次受到褒奖,但却不露声色。而乌有国皇帝听罢讲解,心里也大概有了数。司簿大臣此时又命人将几张图表搬出,因为一图胜千言,冷冰冰的数字总没有图来得直观。

第一张图叫《从各站出行的平均换乘数》。”请看,这张图基于L列的数据。各位怎么想呢?”

宰相一直听着没作声,此时开口道:”一眼看去,线团<棋盘<波浪的趋势十分明显,只有三个例外D、E和L,在这三个站,棋盘胜过了线团,但波浪还是远远落在后面。平均而言,线团的优势昭然若揭,棋盘次之,而波浪只得垫底。”

“这三个站,敝人与棋盘公的差距甚小,”线团君答道,”且不说其实它们都在居民区,并不是多么重要的站点。如果大家看最最关键的站,例如交通集散、客流密集的两个火车站C和J,会发现敝人的方案比另外两个都要优越许多。三个重要功能区B、F和K同理。尤其是C、F、J、K四站,都是城市的大节点和枢纽,敝人的方案可谓遥遥领先。”

司簿大臣又拿出第二张图《各站相对换乘方便度》。”此图基于M列之倒数。注意,’方便度’可是越高越好。”

“线团君的F站明显一柱擎天,”乌有国皇帝也评论道,”J站也比较突出。”

“这说明,在线团君的方案中,F站和J站是最便捷的,远比其它的便捷得多。而棋盘和波浪二方案中,则基本没有太大起伏。”

“即便有,也没到点上,反而踩错了重点,”线团君接过话头,”我之所以如此看重F和J,是因为前者是中心的中心,后者是重要的火车站。其实,B、C、G、K四站,就便利程度而言,在敝人的系统中紧随其后,而它们都是最需要便利、也最应该便利的站。

“相反,在棋盘公的方案中,B、C、D、E、L五站并列第一,这当中出了B和C之外,都是居民区;反而中心站F比较低。而客流甚大、对地铁需求也大的K,却几乎倒数。波先生的方案中,最便利的是B、E、J、L,虽然重点不明显,但起码有这样的意识,不像棋盘式布局那样没轻没重,一概平均主义。可惜,波浪式布局意图较好,真正比起绝对的数值,却逊色得远了。”

乌有国皇帝微微点头,棋盘公和波中客都说不出什么话来。良久,棋盘公质问道:”平均有什么不行?如果各站都一样便利,又有何不可?”

“如果各站都一样便利,那敢情好;然而实际情况是各站都一样不便利。这样的后果就是,需求小的站浪费,需求大的站不足。而敝人的方案,则是让需求大的站得到满足,同时照顾需求小的站。最大的优点就是重点清晰。”

司簿大臣拿上的第三张图有上下两个图表,分别是《从各站出行的平均里程》和《各站相对出行费时度》。

“这两张图是基于Y与Z两列。在这一阶段,三位均几乎打成平手,因为客观原因使然。F在市中心,自然到各地距离都短,而H屈居一角,自然路程远、费时长。但我们可以发现,由于线团方案中斜线较多,所以路程也近一点。波先生基本上跟棋盘公持平,但在少数站不得不绕路(G和K),所以平均还是高些。这也导致了在相对费时度的比拼中,棋盘稍胜波浪一筹。”

“而K是个关键站,波先生如此设计,却必须绕路,实在失策。”宰相说道。

第四张图是《各站相对便利指数》。

“此图基于AA列数据,柱形图是越低越好,而且只是体现某站在其方案中的相对位置。从此图来看,波先生的规划让B、E、J三站最方便,G、H、K最不方便。金融区和一个火车站,列在最方便之中,而商业街和另外两个居民区,则是最不方便。我想刚才宰相大人说得不错,K作为关键站,绝对有资格受到更好的待遇。

“棋盘公的方案,依然起伏不大,只是H落后得突出,可能还是因为路途遥远所致。而线团君就更有戏剧性了。首先,F在便利程度上遥遥领先,然后是J——”

“还是那句话,要有清晰的重点,而不是没轻没重,”线团君平静地说,直盯着棋盘公。

“相比而言,A、D、H、L四个居民区则不那么便捷。”

“但即便如此,也依然比另两个方案强,”线团君说,”如果有绝对便利指数的对比,就更明显了。”

“这就来了,”司簿大臣拿出《各站绝对便利指数》图,”此图基于AB列数据。可以看出,与第一张表示换乘数的图基本一样,只不过强者更强,弱者更弱些。

“线团在F、J、K的优势,波浪在C、G等站的弱势,自然已非常明显;但如果拿线团方案的弱处A、D、H、L来比,其实也比波浪强得多;只不过偶尔和棋盘相同,或略逊而已。”

“大家是不是忘了,”波中客终于开口了,”我还有两条加密线路可供参考?”说着,指了指身旁的图。

“没用的,”司簿大臣答道,”这些数据依然还是这样。也就是说,你的加密线,对重点站没有影响。而对于新经过的地区:首先路远费时是肯定的,其次,换乘数量也不见得少。所以这两条线路最好还是没有的好,否则真是吃力不讨好,而且这种大长线的成本,实在是很可观。

“我想,大家心里已经都对三个方案的优劣心知肚明。陛下怎么看呢?”

乌有国皇帝点点头,作出最终的裁决:线团君的方案最优,值得采用。而另外二人,分别领了奖励回家去了,不提。

==== 完 ====

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